代数结构-代数系统

知识回顾

二元运算

算律

涉及一个二元运算的

• 交换律(Commutative Law)
• 结合率(Associative Law)
• 幂等律(Idempotent Law)
• 消去律(Cancellation Law)

设计两个二元运算的

• 分配律(Distributive Law)
• 吸收律(Absorption Law)

一些结论

• 单位元存在$\to$单位元唯一

• 零元存在$\to$零元唯一

• 如果$|S| > 1\to$单位元不等于零元

• 对于可结合的二元运算，可逆元素的逆元唯一

$Pf.设x_1,x_2均为x的逆, 则x_1 = x_1 \cdot x \cdot x_2 = x_2.$

子代数

设$V = <S, f_1, f_2, \dots , f_k>是代数系统, B \sube S \and B对f_1, f_2, \dots f_k都是封闭的$，则称$<B,f_1, f_2, \cdots, f_k>$是$V$的子代数。

积代数

$$设<x_1, y_1>, <x_2, y_2> \in A\times B, \\ <x_1, y_1> * <x_2, y_2> = <x_1\times x_2, y_1\cdot y_2>$$

同类型的子代数vs.同种的子代数

如果两个代数系统中运算的个数相同，且对应的运算元数相同，且代数常数（对运算起重要作用的特定元素，如零元，单位元）的个数也相同，则称这两个代数系统具有相同的构成成分，也称它们是**同类型**的代数系统。

同态与同构

同态

$$设V_1 = <A, \cdot>,V_2 = <B, *>，若能够找到一个映射f: V_1 \to V_2，\\ \forall x,y\in A, 有唯一的f(x),f(y) \in B, 且f(x \cdot y) = f(x) * f(y).\\ 则称f是V_1到V_2的同态映射，简称同态.$$

同态像

同态像即函数$f$的值域.

满同态、单同态、同构

习题

通过运算表判断运算性质

若满足

• 交换律：对称阵
• 幂等律：主对角线元素排列顺序等于表头元素排列顺序
• 消去律：所有的非零元素对应的行或列的元素都应该不相等

单位元：所在的行**和**列的元素排列顺序都与表头顺序相同

零元：所在的行**和**列的元素都为自己

代数系统判断

1. 设A=$\{a,b,c\}$ ,能否确定a,b,c似的A对乘法封闭?对加法封闭?

2. 全体可逆矩阵集合关于矩阵加法和乘法是否封闭?

对加法不封闭,对乘法封闭.

证明同态

1. $V_1 = <\Z, +, \cdot>, V_2 = <\Z_n, \oplus,\otimes >,\\证明f(x) = (x) \mod n 为V_1到V_2的满同态映射.$

$$(1)证明同态\\ (2)证明满射$$

1.