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chap 2

6 重积分

6.1 二重积分的概念和性质

二重积分的概念与性质

divide\ D\ into\ D_i\ deliberately. set \lambda = \max{\{D_i的直径\}} . 任取D_i内一点(\xi_i, \eta_i)的值代表整个小区域的近似值,\\ 计算黎曼和\ \sum_{i = 1}^{n}f(\xi_i, \eta_i)\Delta\sigma_i.\\ let\ \lambda \rightarrow 0, V = \lim_{\lambda\rightarrow0}\sum_{i = 1}^{n}f(\xi_i, \eta_i)\Delta\sigma_i\stackrel{\mathrm{def}}{=}\displaystyle \iint_{D} f(x,y)d\sigma

二重积分的可积条件

  • 连续
  • 上有界 间断点分布在D内有限条光滑曲线上

性质

  • 常数可以提出来
  • 积分区域的可加性
  • 保向性
  • 估值性质
  • m \leq {1\over \sigma(D)}\displaystyle \iint f(x,y)d\sigma \leq M
  • 绝对值性质

  • |\displaystyle \iint f(x,y)d\sigma| \le \iint |f(x,y|d\sigma

  • 对称性质（利用被积函数奇偶性）

定理 (中值定理 1) 设 D \subset \mathbb{R}^{2} 为有界闭区域, 函数 f(x, y), g(x, y) 在 D 上连续, 且对任意的 (x, y) \in D, g(x, y) \geqslant 0( 或 \leqslant 0), 则存在 (\xi, \eta) \in D, 使得 $$ \iint_{D} f(x, y) g(x, y) \mathrm{d} \sigma=f(\xi, \eta) \iint_{D} g(x, y) \mathrm{d} \sigma $$ 特别的, 取 g(x, y) \equiv 1, 有 定理 (中值定理 2) 设 D \subset \mathbb{R}^{2} 为有界闭区域, 函数 f(x, y) 在 D 上连续, 则存在 (\xi, \eta) \in D, 使得 $$ \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=f(\xi, \eta) \cdot \sigma(D) $$

6.2 二重积分的计算

6.2.1 累次积分法

根据积分区域的形式，选择累次积分的次序，既要关注积分区域的简便划分，又要注意积分过程是否简便。

积分区域形如D=\{(x,y)|\varphi_1(x)\le y\le \varphi_2(x),a\le x\le b\}
  • 注：这也就告诉我们：固定一个x,有明确的y的变化的上下限，所以可以先对y积分，然后得到关于x的一重积分

二重积分的计算公式 $$ \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{a}{b}\left(\int_{\varphi_{1}(x)}(x)} f(x, y) \mathrm{d} y\right) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} \mathrm{~d} x \int_{\varphi_{1}(x)}^{\varphi_{2}(x)} f(x, y) \mathrm{d} y . $$ 此公式表明二重积分可化为先对 y, 后对 x 的两次定积分. 上式右端称为先对 y, 后对 x 的累次 积分 (二次积分).

积分区间形如D=\left\{(x, y) \mid \psi_{1}(y) \leqslant x \leqslant \psi_{2}(y), c \leqslant y \leqslant d\right\}

二重积分的另一计算公式 $$ \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{c}{d}\left(\int_{\psi_{1}(y)}(y)} f(x, y) \mathrm{d} x\right) \mathrm{d} y=\int_{c}^{d} \mathrm{~d} y \int_{\psi_{1}(y)}^{\psi_{2}(y)} f(x, y) \mathrm{d} x . $$ 此公式表明二重积分可化为先对 x, 后对 y 的累次积分.

  • 最后指出, 虽然在推导上述两个公式时, 我们假设被积函数 f(x, y) 非负, 但对于一般的 f(x, y), 公式 (6.2.1)、(6.2.2) 仍成立. 另外, 对于不满足公式条件的积分区域 D, 我们可将 D 分割为若干子闭区域, 使得在每个子闭区域上满足公式的条件, 将二重积分化为累次积分, 然后应用二重积分对积分区域的可加性, 把它们相加即可.

6.2.2 换元积分法

  • 定理 (二重积分的换元积分公式) 设 D 为平面有界闭区域, 函数 f(x, y) 在 D 上 连续, 函数组 x=x(u, v), y=y(u, v) 在 u v 平面的有界闭区域 D^{\prime} 上连续可微, 使得 D^{\prime} 与 D的点一一对应, 并且雅可比行列式
J(u, v)=\frac{D(x, y)}{D(u, v)} \neq 0, \quad(u, v) \in D^{\prime},

Pf.M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4} 的坐标分别为

\begin{aligned} &M_{1}\left(x\left(u_{i}, v_{i}\right), y\left(u_{i}, v_{i}\right)\right) \\ &M_{2}\left(x\left(u_{i}+\Delta u_{i}, v_{i}\right), y\left(u_{i}+\Delta u_{i}, v_{i}\right)\right) \\ &M_{3}\left(x\left(u_{i}+\Delta u_{i}, v_{i}+\Delta v_{i}\right), y\left(u_{i}+\Delta u_{i}, v_{i}+\Delta v_{i}\right)\right) \\ &M_{4}\left(x\left(u_{i}, v_{i}+\Delta v_{i}\right), y\left(u_{i}, v_{i}+\Delta v_{i}\right)\right) \end{aligned}

​ 由于 x(u, v), y(u, v) 连续可微, 当 \Delta u_{i}, \Delta v_{i} 很小时, 若不计高阶无穷小, 则有

\begin{aligned} \overrightarrow{M_{1} M_{2}} &=\left(x\left(u_{i}+\Delta u_{i}, v_{i}\right)-x\left(u_{i}, v_{i}\right), y\left(u_{i}+\Delta u_{i}, v_{i}\right)-y\left(u_{i}, v_{i}\right)\right) \\ &=\left(x_{u}^{\prime}\left(u_{i}+\theta_{1} \Delta u_{i}, v_{i}\right), y_{u}^{\prime}\left(u_{i}+\theta_{2} \Delta u_{i}, v_{i}\right)\right) \Delta u_{i} \\ & \approx\left(x_{u}^{\prime}\left(u_{i}, v_{i}\right), y_{u}^{\prime}\left(u_{i}, v_{i}\right)\right) \Delta u_{i} \quad\left(0<\theta_{1}, \theta_{2}<1\right), \end{aligned}
\begin{aligned} \overrightarrow{M_{4} M_{3}} &=\left(x\left(u_{i}+\Delta u_{i}, v_{i}+\Delta v_{i}\right)-x\left(u_{i}, v_{i}+\Delta v_{i}\right), y\left(u_{i}+\Delta u_{i}, v_{i}+\Delta v_{i}\right)-y\left(u_{i}, v_{i}+\Delta v_{i}\right)\right) \\ &=\left(x_{u}^{\prime}\left(u_{i}+\theta_{3} \Delta u_{i}, v_{i}+\Delta v_{i}\right), y_{u}^{\prime}\left(u_{i}+\theta_{4} \Delta u_{i}, v_{i}+\Delta v_{i}\right)\right) \Delta u_{i} \\ & \approx\left(x_{u}^{\prime}\left(u_{i}, v_{i}\right), y_{u}^{\prime}\left(u_{i}, v_{i}\right)\right) \Delta u_{i} \quad\left(0<\theta_{3}, \theta_{4}<1\right) \end{aligned}

所以 (为了方便利用向量的运算, 我们把 2 维坐标 (x, y) 写成 3 维坐标 (x, y, 0) )

\overrightarrow{M_{1} M_{2}} \approx \overrightarrow{M_{4} M_{3}} \approx\left(x_{u}^{\prime}\left(u_{i}, v_{i}\right), y_{u}^{\prime}\left(u_{i}, v_{i}\right), 0\right) \Delta u_{i}

同理可得

\overrightarrow{M_{1} M_{4}} \approx \overrightarrow{M_{2} M_{3}} \approx\left(x_{v}^{\prime}\left(u_{i}, v_{i}\right), y_{v}^{\prime}\left(u_{i}, v_{i}\right), 0\right) \Delta v_{i},

因而曲边四边形 M_{1} M_{2} M_{3} M_{4} 可近似地看作平行四边形, 它的面积为

\Delta \sigma \approx\left|\overrightarrow{M_{1} M_{2}} \times \overrightarrow{M_{1} M_{4}}\right|=\left|\frac{D(x, y)}{D(u, v)}\right|_{\left(u_{i}, v_{i}\right)} \Delta u_{i} \Delta v_{i}=\left|J\left(u_{i}, v_{i}\right)\right| \Delta u_{i} \Delta v_{i},

所以 \Delta \sigma 与 \Delta \sigma^{\prime} 之比为 \left|J\left(u_{i}, v_{i}\right)\right|. 由于 J(u, v) 在 D^{\prime} 上连续且不等于 0 , 所以 \lambda \rightarrow 0 \Longleftrightarrow \lambda^{\prime} \rightarrow 0. 由二重积分的定义得

\begin{aligned} \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma &=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i}, y_{i}\right) \Delta \sigma_{i} \\ &=\lim _{\lambda^{\prime} \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(x\left(u_{i}, v_{i}\right), y\left(u_{i}, v_{i}\right)\right)\left|J\left(u_{i}, v_{i}\right)\right| \Delta u_{i} \Delta v_{i} \\ &=\iint_{D^{\prime}} f(x(u, v), y(u, v))|J(u, v)| \mathrm{d} u \mathrm{~d} v \end{aligned}

​ 则有换元积分公式: $$ \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\iint_{D^{\prime}} f(x(u, v), y(u, v))|J(u, v)| \mathrm{d} u \mathrm{~d} v $$

  • 其中 \mathrm{d} \sigma=|J(u, v)| \mathrm{d} u \mathrm{~d} v 是曲线坐标下的面积微元.
极坐标变换

在二重积分中, 极坐标换元是最常用的换元变换. 我们知道, 直角坐标与极坐标的换元 变换有公式

x=\rho \cos \theta, \quad y=\rho \sin \theta

此时

J(\rho, \theta)=\frac{D(x, y)}{D(\rho, \theta)}=\left|\begin{array}{cc} \cos \theta & -\rho \sin \theta \\ \sin \theta & \rho \cos \theta \end{array}\right|=\rho

据定理 6.2.3 可得:

\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\iint_{D^{\prime}} f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \rho \mathrm{d} \rho \mathrm{d} \theta

其中 D^{\prime} 是在极坐标变换下原积分区域 D 所对应的区域, \mathrm{d} \sigma=\rho \mathrm{d} \rho \mathrm{d} \theta 是极坐标下的面积 微元.

6.3 三重积分

6.3.2 累次积分法

先一后二
对于积分区域为\Omega = \{(x,y,z)|z_1(x,y)\leq z(x,y) \leq z_2(x,y), (x,y)\in D\}\\ \iiint f(x,y,z)dxdydz = \iint d\sigma \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z)dz\\ 进一步，对于二重积分，可以运用之前的知识，根据情况改写为\\ = \int_a^b dx\int _{y_1(x)}^{y_2{(x)}}dy \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z)dz\\
先二后一
我们可以用一个垂直于z轴的平面截积分区域，得到足够多的“薄片”\\ 每一层可以二重积分，积分区域为D(z)\\ \iiint f(x,y,z)dxdydz = \int_a^b dz \iint f(x,y,z)d\sigma\\
经验与技巧
  • 同一道题，不同的积分顺序对计算过程的影响很大。优先对无关的变量进行积分
  • 还原积分要画图确定积分区域
  • 还原积分的目的：
  • 简化被积函数
  • 简化积分区域
  • 更多时候，是一种二者的权衡（Trade off）

6.3.3 换元积分法

Thm. (三重积分的换元积分公式) 设 \Omega \subset \mathbb{R}^{3} 为有界闭区域, 函数 f(x, y, z) 在 \Omega 上连续, 函数组 x=x(u, v, w), y=y(u, v, w), z=z(u, v, w) 在有界闭区域 \Omega^{\prime} 上连续可微, 使得 \Omega 与 \Omega^{\prime} 的点一一对应, 并且雅可比行列式 $$ J(u, v, w)=\frac{D(x, y, z)}{D(u, v, w)}=\left|\begin{array}{lll} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w} \ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w} \ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{array}\right| \neq 0, \quad(u, v, w) \in \Omega^{\prime} $$ 则有三重积分换元积分公式: $$ \iint_{\Omega} \int_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} V=\iint_{\Omega^{\prime}} \int_{J} f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))|J(u, v, w)| \mathrm{d} u \mathrm{~d} v \mathrm{~d} w . $$ 其中 \mathrm{d} V=|J(u, v, w)| \mathrm{d} u \mathrm{~d} v \mathrm{~d} w 是曲线坐标下的体积微元.

柱坐标变换

采用柱坐标计算三重积分时, 雅可比行列式 $$ J(\rho, \theta, z)=\frac{D(x, y, z)}{D(\rho, \theta, z)}=\left|\begin{array}{ccc} \cos \theta & -\rho \sin \theta & 0 \ \sin \theta & \rho \cos \theta & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{array}\right|=\rho, $$ 据定理 6.3.1 可得 $$ \iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iiint_{\Omega^{\prime}} f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta, z) \rho \mathrm{d} \rho \mathrm{d} \theta \mathrm{d} z, $$ 其中 \mathrm{d} V=\rho \mathrm{d} \rho \mathrm{d} \theta \mathrm{d} z 是柱坐标下的体积微元.

球坐标变换

点 M 的直角坐标 (x, y, z) 与其球坐标 (r, \varphi, \theta) 之间有关系式 $$ x=r \sin \varphi \cos \theta, \quad y=r \sin \varphi \sin \theta, \quad z=r \cos \varphi, $$ 此式称为球坐标变换.

-采用球坐标计算三重积分时, 雅可比行列式 $$ J(r, \varphi, \theta)=\frac{D(x, y, z)}{D(r, \varphi, \theta)}=\left|\begin{array}{ccc} \sin \varphi \cos \theta & r \cos \varphi \cos \theta & -r \sin \varphi \sin \theta \ \sin \varphi \sin \theta & r \cos \varphi \sin \theta & r \sin \varphi \cos \theta \ \cos \varphi & -r \sin \varphi & 0 \end{array}\right|=r^{2} \sin \varphi, $$ 据定理 6.3.1 可得 $$ \iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iint_{\Omega^{\prime}} f(r \sin \varphi \cos \theta, r \sin \varphi \sin \theta, r \cos \varphi) r^{2} \sin \varphi \mathrm{d} r \mathrm{~d} \varphi \mathrm{d} \theta, $$ 其中 \mathrm{d} V=r^{2} \sin \varphi \mathrm{d} r \mathrm{~d} \varphi \mathrm{d} \theta 是球坐标下的体积微元. 一般情况下, 如果积分区域中含有球面、雉面或过 z 轴的半平面, 采用球坐标会比较简 单. 将三重积分化为球坐标下的三重积分后, 还要将它化为球坐标下的累次积分, 这时, 一般 情况下最先对 r 积分, 然后对 \varphi 积分, 最后对 \theta 积分.

广义球坐标变换

例 6.3.9 计算三重积分 \iiint_{\Omega} x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, 其中 \Omega 是椭球体 \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leqslant 1. 解 采用广义球坐标变换, 令 $$ x=a r \sin \varphi \cos \theta, \quad y=b r \sin \varphi \sin \theta, \quad z=c r \cos \varphi, $$ 雅可比行列式 $$ J(r, \varphi, \theta)=\left|\begin{array}{ccc} a \sin \varphi \cos \theta & a r \cos \varphi \cos \theta & -a r \sin \varphi \sin \theta \ b \sin \varphi \sin \theta & b r \cos \varphi \sin \theta & b r \sin \varphi \cos \theta \ c \cos \varphi & -c r \sin \varphi & 0 \end{array}\right|=a b c r^{2} \sin \varphi $$ 在球坐标下将 \Omega 变为 \Omega^{\prime}, 其中 $$ \Omega^{\prime}: \quad 0 \leqslant r \leqslant 1, \quad 0 \leqslant \varphi \leqslant \pi, \quad 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi, $$

6.4 重积分的应用

6.4.1 重积分在几何上的应用

立体的体积

广义重积分